Series de Fourier

• Las Series de Fourier nos sirven para modelar una señal periódica en términos de señales sinusoidales.
• Con ésta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro.
• Permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio frecuencial.
• Se usa la relación de Parseval para determinar cuantos armónicos son necesarios para la reconstrucción de una señal.
• La velocidad de convergencia, es la velocidad en que los coeficientes de Fourier tienden a 0, y es un parámetro importante para la reconstrucción de una señal.

Respuesta de un sistema a entradas periódicas:

• La respuesta de un sistema a una señal periódica es también una señal periódica del mismo periodo que la señal de entrada, pero con diferentes magnitudes y fase.
• La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuesta estacionaria del sistema.

Efecto Gibbs:

• Son sobrepicos de un 9% que se da en los puntos de discontinuidad.
• Se producen por utilizar un número muy grande de armónicos para la reconstrucción.
• también son producidas, cuando se aproxima una función periódica con discontinuidades que tienen infinitos armónicos y se tiene que truncar la función hasta el armónico N.
• Para eliminarlo se utilizan las ventanas espectrales, que suavizan la reconstrucción de la señal.

Transformada de Fourier:

Ampliando el concepto de Series de Fourier a señales no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica como una señal continua de periodo infinito.

• El espacio entre frecuencias es aproximadamente 0 y es por tanto una función continua.
• La señal pasa a ser de potencia a energía.
• los coeficientes Xs[k] son 0. Ya no es un indicador de contenido espectral de la señal.

Relación entre Series y Transformada de Fourier.

• X(w) es función envolvente de Xs[k].
• Si muestreamos X(w) a intervalos fo, la función esultante es el espectro de una señal periódica de periodo To=1/fo.
• Es decir, muestrear en el dominio de la frecuencia se corresponde con señales periódicas en el dominio temporal.

Se utilizan para analizar la respuesta de sistemas LTI, valiéndose que convolución en el tiempo equivale al producto en el dominio frecuencial.

Limitaciones de la Transformada de Fourier.

• El sistema debe tener condiciones iniciales 0.
• Entradas que no son energía requieren el uso de impulsos.